三角函數、平面向量綜合題六類型

三角函數與平面向量綜合題的六種類型 題型一：結合向量的數量積,考查三角函數的化簡或求值 【例1】（2007年高考安徽卷）已知，為的最小正周期，，求的值． 【解答】因為為的最小正周期，故．因為， 又，故． 由于，所以 ． 【評析】 合理選用向量的數量積的運算法則構建相關等式，然后運用三角函數中的和、差、半、倍角公式進行恒等變形，以期達到與題設條件或待求結論的相關式，找準時機代入求值或化簡。 題型二：結合向量的夾角公式，考查三角函數中的求角問題  【例2】 （2006年高考浙江卷）如圖，函數（其中）的圖像與軸交于點（0，1）。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）設是圖像上的最高點，M、N是圖像與軸的交點，求與的夾角。 【解答】（I）因為函數圖像過點， 所以即 因為，所以. （II）由函數及其圖像，得 所以從而 ，故. 【評析】 此類問題的一般步驟是：先利用向量的夾角公式：求出被求角的三角函數值，再限定所求角的范圍，最后根據反三角函數的基本運算，確定角的大小；或者利用同角三角函數關系構造正切的方程進行求解。 題型三：結合三角形中的向量知識考查三角形的邊長或角的運算 【例3】（山東卷）在中，角的對邊分別為，． （1）求； （2）若，且，求． 【解答】（1），, 又，解得：， ，是銳角，． （2），，， 又，，， ，． 【評析】 根據題中所給條件，初步判斷三角形的形狀，再結合向量以及正弦定理、余弦定理實現邊角轉化，列出等式求解。 題型四：結合三角函數的有界性，考查三角函數的最值與向量運算 【例4】（2007年高考陜西卷），其中向量，，，且函數的圖象經過點． （Ⅰ）求實數的值； （Ⅱ）求函數的最小值及此時值的集合。 【解答】（Ⅰ） 由已知，得． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ∴當時，的最小值為， 由，得值的集合為． 【評析】 涉及三角函數的最值與向量運算問題時，可先根據向量的數量積的運算法則求出相應的函數基本關系式，然后利用三角函數的基本公式將所得出的代數式化為形如，再借助三角函數的有界性使問題得以解決。 題型五：結合向量平移問題，考查三角函數解析式的求法 【例5】（2007年高考湖北卷）將的圖象按向量平移，則平移后所得圖象的解析式為（ ） Ａ．Ｂ． Ｃ．Ｄ． 【解答】∵，∴平移后的解析式為 ，選． 【評析】理清函數按向量平移的一般方法是解決此類問題之關鍵，平移后的函數解析式為． 題型六：結合向量的坐標運算，考查與三角不等式相關的問題 【例6】（2006年高考湖北卷）設向量，函數. （Ⅰ）求函數的最大值與最小正周期； （Ⅱ）求使不等式成立的的取值集. 【解答】（Ⅰ）∵ ∴的最大值為，最小正周期是 （Ⅱ）要使成立，當且僅當， 即, 即成立的的取值集合是． 【評析】 結合向量的坐標運算法則，求出函數的三角函數關系式，再根據三角公式對函數的三角恒等關系，然后借助基本三角函數的單調性，求簡單三角不等式的解集。 【跟蹤訓練】 1．設函數，其中向量， ． （Ⅰ）求函數的最大值和最小正周期； （Ⅱ）將函數的圖像按向量平移，使平移后得到的圖像關于坐標原點成中心對稱，求長度最小的． 2．已知向量． （Ⅰ）若，求； （Ⅱ）求的最大值． 【參考答案】 1．解：(Ⅰ)由題意得， ， 所以，的最大值為，最小正周期是. （Ⅱ）由得，即， 于是，． 因為為整數，要使最小，則只有，此時即為所求． 2．解：（Ⅰ）若，則，由此得：， 所以， ． （Ⅱ）由得： 當時，取得最大值，即當時，的最大值為．