三角函數、平面向量綜合題六類型
三角函數與平面向量綜合題的六種類型 題型一:結合向量的數量積,考查三角函數的化簡或求值 【例1】(2007年高考安徽卷)已知,為的最小正周期,,求的值. 【解答】因為為的最小正周期,故.因為, 又,故. 由于,所以 . 【評析】 合理選用向量的數量積的運算法則構建相關等式,然后運用三角函數中的和、差、半、倍角公式進行恒等變形,以期達到與題設條件或待求結論的相關式,找準時機代入求值或化簡。 題型二:結合向量的夾角公式,考查三角函數中的求角問題 【例2】 (2006年高考浙江卷)如圖,函數(其中)的圖像與軸交于點(0,1)。 (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)設是圖像上的最高點,M、N是圖像與軸的交點,求與的夾角。 【解答】(I)因為函數圖像過點, 所以即 因為,所以. (II)由函數及其圖像,得 所以從而 ,故. 【評析】 此類問題的一般步驟是:先利用向量的夾角公式:求出被求角的三角函數值,再限定所求角的范圍,最后根據反三角函數的基本運算,確定角的大小;或者利用同角三角函數關系構造正切的方程進行求解。 題型三:結合三角形中的向量知識考查三角形的邊長或角的運算 【例3】(山東卷)在中,角的對邊分別為,. (1)求; (2)若,且,求. 【解答】(1),, 又,解得:, ,是銳角,. (2),,, 又,,, ,. 【評析】 根據題中所給條件,初步判斷三角形的形狀,再結合向量以及正弦定理、余弦定理實現邊角轉化,列出等式求解。 題型四:結合三角函數的有界性,考查三角函數的最值與向量運算 【例4】(2007年高考陜西卷),其中向量,,,且函數的圖象經過點. (Ⅰ)求實數的值; (Ⅱ)求函數的最小值及此時值的集合。 【解答】(Ⅰ) 由已知,得. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ∴當時,的最小值為, 由,得值的集合為. 【評析】 涉及三角函數的最值與向量運算問題時,可先根據向量的數量積的運算法則求出相應的函數基本關系式,然后利用三角函數的基本公式將所得出的代數式化為形如,再借助三角函數的有界性使問題得以解決。 題型五:結合向量平移問題,考查三角函數解析式的求法 【例5】(2007年高考湖北卷)將的圖象按向量平移,則平移后所得圖象的解析式為( ) A.B. C.D. 【解答】∵,∴平移后的解析式為 ,選. 【評析】理清函數按向量平移的一般方法是解決此類問題之關鍵,平移后的函數解析式為. 題型六:結合向量的坐標運算,考查與三角不等式相關的問題 【例6】(2006年高考湖北卷)設向量,函數. (Ⅰ)求函數的最大值與最小正周期; (Ⅱ)求使不等式成立的的取值集. 【解答】(Ⅰ)∵ ∴的最大值為,最小正周期是 (Ⅱ)要使成立,當且僅當, 即, 即成立的的取值集合是. 【評析】 結合向量的坐標運算法則,求出函數的三角函數關系式,再根據三角公式對函數的三角恒等關系,然后借助基本三角函數的單調性,求簡單三角不等式的解集。 【跟蹤訓練】 1.設函數,其中向量, . (Ⅰ)求函數的最大值和最小正周期; (Ⅱ)將函數的圖像按向量平移,使平移后得到的圖像關于坐標原點成中心對稱,求長度最小的. 2.已知向量. (Ⅰ)若,求; (Ⅱ)求的最大值. 【參考答案】 1.解:(Ⅰ)由題意得, , 所以,的最大值為,最小正周期是. (Ⅱ)由得,即, 于是,. 因為為整數,要使最小,則只有,此時即為所求. 2.解:(Ⅰ)若,則,由此得:, 所以, . (Ⅱ)由得: 當時,取得最大值,即當時,的最大值為.