三角函數的對稱軸

y=sinx對稱軸為x=k∏+ ∏/2 （k為整數），對稱中心為（k∏，0）（k為整數）。 y=cosx對稱軸為x=k∏（k為整數），對稱中心為（k∏+ ∏/2，0）（k為整數）。 y=tanx對稱中心為（k∏，0）（k為整數），無對稱軸。 這是要記憶的。 對于正弦型函數y=Asin(ωx+Φ），令ωx+Φ = k∏+ ∏/2 解出x即可求出對稱軸，令ωx+Φ = k∏ 解出的x就是對稱中心的橫坐標，縱坐標為0。（若函數是y=Asin(ωx+Φ）+ k 的形式，那此處的縱坐標為k ） 余弦型，正切型函數類似。 以f（x）＝sin（2x－π／6）為例 令2x-π/6=Kπ 解得x=kπ/2+π/12 那么函數的對稱中心就是（kπ/2+π/12,0) 三角函數y=Asin（ωx+φ）中的對稱軸 正弦函數y=sinx的對稱軸是x=k+（k∈Z），它的對稱軸總是經過它圖象的最高點或者最低點。由于三角函數y=是由正弦函數y=sinx復合而成的，所以令=k+，就能得到y=的對稱軸方程x=（k∈Z）。通過類比可以得到三角函數y=的對稱軸方程x=（k∈Z）。下面通過幾道典型例題來談一談如何應用它們的對稱軸解題。 1．解析式問題 例1．設函數=（），圖像的一條對稱軸是直線，求的值。 分析：正弦函數y=sinx的對稱軸是x=k+，令2x+=k+，結合條件求解。 解析：∵是函數y=的圖像的對稱軸，∴， ∴，k∈Z，而，則。 點評：由于對稱軸都是通過函數圖像的最高點或者最低點的直線，所以把對稱軸的方程代入到函數解析式，函數此時可能取得最大值或最小值。易錯點就在于很多同學誤認為由于正弦函數y=sinx的周期是2k，所以會錯誤的令=2k+。 2．參數問題 例2．如果函數y＝sin2x＋acos2x的圖象關于直線x＝－對稱，則a的值為（ ） A． B．－ C．1 D．－1 分析：由于本題是選擇題，所以解法多種多樣，可以帶入驗證；也可以根據對稱軸的通式求解，還可以根據最值求解。 解法一：y＝sin2x＋acos2x=sin（2x＋），其中cos=，sin=， 由函數的圖象關于x=－對稱知，函數y＝sin2x＋acos2x在x=－處取得最大值或最小值， ∴sin（－）＋acos（－）＝±， 即（1－a）=±，解得a＝－1，所以應選擇答案：D。 點評：過函數y=Asin（）圖象最值點與y軸平行(或重合)的直線都是函數圖象的對稱軸。 解法二：顯然a≠0，如若不然，x＝－就是函數y＝sin2x的一條對稱軸，這是不可能的， 當a≠0時，y＝sin2x＋acos2x =， 其中，，即tan=， 函數y＝cos（2x－）的圖象的對稱軸方程的通式為2xk＝k＋（k∈Z）， ∴xk＝，令xk＝－，則=－，∴=－k－， ∴tan＝tan（－k－）＝－1， 即=－1，∴a=－1為所求，所以應選擇答案：D。 點評：根據余弦型函數的對稱軸問題，結合對應的正切值的值加以分析求解，也是一種特殊的方法。 解法三：∵f(x)＝sin2x＋acos2x的圖象關于直線x＝－對稱， ∴，令x=－，得， ∴sin＋acos=sin0＋acos0，得a＝－1，所以應選擇答案：D。 點評：這種解法比較巧妙，緊扣住對稱性的定義，采用特殊值法代入。是不可多得的一種快捷方便的解答方法。 3．單調區間問題 例3．在下列區間中函數y＝sin（x＋）的單調增區間是（ ） A．［，］ B．［0，］ C．［－，0］ D．［，］ 分析：像這類題型，常規解法都是運用y＝Asin（x＋）的單調增區間的一般結論，由一般到特殊求解，既快又準確，本題倘若運用對稱軸方程求單調區間，則是一種頗具新意的簡明而又準確、可靠的方法。 解析：函數y＝sin（x＋）的對稱軸方程是：xk=k＋－=k＋（k∈Z）， 照選擇支，分別取k＝－1、0、1，得一個遞增或遞減區間分別是［－，］或［，］，對照選擇支思考即知應選擇答案：B。 點評：一般運用正、余弦函數的對稱軸方程求其單調區間，可先運用對稱軸方程求其一個單調區間，然后在兩端分別加上周期的整數倍即得。 4．函數性質問題 例4．設點P是函數的圖象C的一個對稱中心，若點P到圖象C的對稱軸上的距離的最小值，則的最小正周期是（ ） A．2π B．π C． D． 分析：根據正弦（或余弦）函數的圖象的對稱中心到一條對稱軸的距離的最小值等于周期的性質加以轉化三角函數的相關性質，從而得到正確解答。 解析：設點P是函數的圖象C的一個對稱中心，若點P到圖象C的對稱軸上的距離的最小值，而圖象的對稱中心到一條對稱軸的距離的最小值等于周期，∴最小正周期為T=×4=π，即選擇答案：B。 點評：三角函數的對稱性與其他相應的性質是緊密相關，特別和三角函數的周期性問題、單調性問題、最值問題能息息相關，要注意加以相互轉化。 函數y=的對稱軸是函數的一條重要性質，要準確的理解函數圖像實質上有無數條對稱軸，它們也是有周期性的，它們的周期不是T=，而是T=，可以理解為對稱軸的周期是函數周期的一半。只有準確的理解對稱軸的特點，才能靈活的應用對稱軸解題。